Números Naturales: Cardinal y Ordinal

Todos los niños y niñas necesitan aprender a contar, ya que utilizan los números tanto en su forma cardinal como ordinal, en muchos juegos y aspectos de su vida.

El conjunto de números naturales está formado por números que actúan como elementos de dicho conjunto. Estos elementos tienen dos características y son que: aparecen ordenados y se pueden poner en secuencia. Además, pueden ser:

Ordinales: lugar que ocupan en la serie (primero, segundo…)

Cardinales: lo que significan en sí mismos (uno, dos, tres…). Éste se obtiene a partir de una secuencia ya construida y es el último número del recuento.

EL NÚMERO NATURAL CON UNA CONSTRUCCIÓN CARDINAL

Un número natural es el cardinal de un conjunto finito, es decir, de un conjunto que no tiene correspondencia biyectiva con un subconjunto. Los pasos para secuenciar los números cardinales son los siguientes:

Un número natural es el siguiente inmediato de otro número natural.

Entre un número natural y su siguiente inmediato no existe otro número natural.

El siguiente inmediato de un número natural es otro número natural.

El 0 no es siguiente inmediato de ningún número natural.

Dos números naturales distintos tienen siguientes inmediatos diferentes.

Todo número natural distinto de 0 tiene un anterior.

EL NÚMERO NATURAL CON UNA CONSTRUCCIÓN ORDINAL

El Axioma de Peano asegura que el conjunto de números naturales queda construido a través de los siguientes axiomas:

• El 1 es un número natural. 1 está en el conjunto de los números naturales.
• Todo número natural tiene un sucesor.
• El 1 no es sucesor de ningún número natural.
• Si hay dos números naturales que tienen el mismo sucesor, entonces son el mismo número natural.
• Si el 1 pertenece a un conjunto de números naturales y, dado un elemento cualquiera, el sucesor también pertenece al coonjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Esto es lo que se conoce como "principio de inducción"

IMPLICACIONES ENTRE EL NÚMERO CARDINAL Y ORDINAL

1. Postulado fundamental de la Aritmética: Este postulado indica que el cardinal de un conjunto coincide con el último ordinal. Siempre es el mismo, independientemente del orden en el que se haya realizado el recuento.
2. Cálculo de distintos números cardinales mediante ordinales. Las operaciones: Al contar a partir de un número “a”, otro número “n” se obtiene como respuesta un número “b”. Por ejemplo: a+n=b à 5+n=8 à n=3 (8 es tres veces mayor que 5).
3. Número cardinales asociados a un número ordinal: Cada posición ordinal de un elemento en una serie finita determina dos clases de equivalencia: la constituida por todos los elementos ordinales anteriores y la constituida por todos los elementos ordinales posteriores. Con ello determina dos números cardinales.
4. Isomorfismo de orden: Con la correspondencia uno a uno entre dos conjuntos ordenados determinamos la equivalencia entre los mismos de forma global.
5. Número ordinal mediante cardinales: Dando un número cardinal, se puede obtener una posición ordinal. Ejemplo: Juan ha subido 3 escalones, ¿En qué posición se encuentra? En el tercer escalón.
6. Relaciones isomórficas: Entre el cardinal y el ordinal en cuanto a la construcción de la secuencia númerica. Ejemplo: Si a≤b entonces "a" es anterior a "b" en la secuencia. Si "a" es anterior a "b" en la secuencia entonces a≤b à Si 5 es menor o igual que 8, es anterior a 8. Si 5 es anterior a 8, entonces 5 es menor o igual que 8.

Partiendo de estas relaciones, podemos solucionar problemas relacionados con los números cardinales a través de la ordenación y viceversa.
Existen diferencias significativas entre el ordinal y el cardinal:

• Transformaciones que cambian el ordinal: en primer lugar, tenemos un conjunto ordenado de 10 piezas de mayor a menor. Si movemos esas piezas y las cambiamos de sitio, el número ordinal se ve afectado, ya que cambian de posición en la serie. Sin embargo el número cardinal sigue siendo 10 y no cambia.
• Transformaciones que cambian el cardinal: Tenemos un conjunto de 10 piezas ordenadas de mayor a menor. Al final añadimos una pieza más. De esta forma el cardinal aumenta un número al añadir otra pieza y el ordinal sigue manteniéndose, ya que la posición no ha variado.
• Transformaciones que conservan el cardinal y el ordinal: Tenemos un conjunto de 10 piezas ordenadas de mayor a menor. Una de ellas la cambiamos por una pieza con una forma distinta pero manteniendo la posición de la anterior. Así, no cambia el número ordinal ni el cardinal.

CONVERGENCIA EVOLUTIVA ENTRE EL CARDINAL Y EL ORDINAL

Existen tres etapas explicativas del desarrollo en el niño/a de la construcción conjunta del cardinal y el ordinal:

1. Ausencia de coordinación entre el cardinal y ordinal de un número.
2. Coordinación intuitiva entre los aspectos del cardinal y ordinal de un número.
3. Coordinación operatoria entre el cardinal y ordinal de un número.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Los números pequeños se aprenden antes que los mayores. Para su enseñanza se deben plantear situaciones que generen conflictos cognitivos para que el alumnado ponga en juego sus esquemas lógico matemáticos y construya el número por sí mismo.